微积分学示例

$\int_{0}^{1} (1 - 8 x^{3} + 16 x^{7}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} 1 - 8 x^{3} + 16 x^{7} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - 8 x^{3} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 8 x^{3} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

解题步骤 4

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} - 8 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

解题步骤 7

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{7} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{8} x^{8}]_{0}^{1})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x^{8}$ 。

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{8}}{8}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1) + 0 - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{8}}{8}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{8}}{8}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2.3

计算 $\frac{x^{8}}{8}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4

化简。

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解题步骤 9.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.4

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.4.2.2

约去公因数。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.4.2.3

重写表达式。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - 8 (\frac{1}{4} - 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 - 8 (\frac{1}{4} + 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.6

将 $\frac{1}{4}$ 和 $0$ 相加。

$1 - 8 (\frac{1}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.7

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$1 + \frac{- 8}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.8

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.8.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.8.2.2

约去公因数。

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.8.2.3

重写表达式。

$1 + \frac{- 2}{1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.8.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$1 - 2 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.9

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 1 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.10

一的任意次幂都为一。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

解题步骤 9.2.4.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{8})$

解题步骤 9.2.4.12

约去 $0$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $8$ 。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 (0)}{8})$

解题步骤 9.2.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.12.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.4.12.2.2

约去公因数。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.4.12.2.3

重写表达式。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.2.4.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - 0)$

解题步骤 9.2.4.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} + 0)$

解题步骤 9.2.4.14

将 $\frac{1}{8}$ 和 $0$ 相加。

$- 1 + 16 (\frac{1}{8})$

解题步骤 9.2.4.15

组合 $16$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$- 1 + \frac{16}{8}$

解题步骤 9.2.4.16

约去 $16$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.16.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8}$

解题步骤 9.2.4.16.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.16.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 (1)}$

解题步骤 9.2.4.16.2.2

约去公因数。

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.4.16.2.3

重写表达式。

$- 1 + \frac{2}{1}$

解题步骤 9.2.4.16.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 1 + 2$

解题步骤 9.2.4.17

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$1$

解题步骤 10

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