微积分学示例

$y = - {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = - 2 x^{2} + 5 x + 3$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 ({(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.8

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + 0)$

解题步骤 3.3.10

将 $- 4 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

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