微积分学示例

$x - x \sin (x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x - x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$1 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 - (x \cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$1 - (x \cos (x)) - \sin (x)$

解题步骤 3.2

去掉多余的括号。

$1 - x \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$- x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

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