微积分学示例

$\int 4 x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

解题步骤 2

展开 $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(3 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 1) (3 x + 1)$ 。

$4 \int x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1)) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$4 \int x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)) d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.7

运用分配律。

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.8

移动 $x$ 。

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.9

移动括号。

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x) x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.10

移动括号。

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3) x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.11

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.12

移动 $x$ 。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1 x) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.13

移动括号。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1) x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.14

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.15

移动括号。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 3) x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.16

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 2.17

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.18

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 \int 9 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 9 (x^{2} x^{1}) x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 9 x^{2 + 1} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 9 x^{3} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 9 (x^{3} x^{1}) + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 9 x^{3 + 1} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.24

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 9 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.25

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 9 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.28

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.29

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.30

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.32

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.33

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

解题步骤 2.34

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

解题步骤 2.35

将 $3 x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int 9 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$4 (9 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 9.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 9.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$4 (\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

微积分学 示例

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