微积分学示例

$\frac{2 x}{\sqrt{3 x - 1}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x - 1}$ 重写成 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{1}}$

解题步骤 1.4

化简。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

解题步骤 1.5.2

将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

解题步骤 1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

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解题步骤 1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.6.3

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.9

在公分母上合并分子。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.10

化简分子。

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解题步骤 1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.11

合并分数。

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解题步骤 1.11.1

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{3 x - 1}$

解题步骤 1.12

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.15

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 1.16

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)}{3 x - 1}$

解题步骤 1.17

合并分数。

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解题步骤 1.17.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3 x - 1}$

解题步骤 1.17.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.17.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.17.4

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.18

要将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.19

组合 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.20

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.21

通过指数相加将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.21.1

移动 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.21.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.21.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.21.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{1} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.22

化简 ${(3 x - 1)}^{1} \cdot 2$ 。

$2 \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.23

将 $2$ 移到 $3 x - 1$ 的左侧。

$2 \frac{\frac{2 \cdot (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 1.24

将 $\frac{\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$ 重写为乘积形式。

$2 (\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 x - 1})$

解题步骤 1.25

将 $\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{3 x - 1}$ 。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)}$

解题步骤 1.26

对 $3 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 ({(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.28

化简表达式。

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解题步骤 1.28.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.28.2

在公分母上合并分子。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 1.28.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.29

组合 $2$ 和 $\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2 (2 (3 x - 1) - 3 x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.30

约去公因数。

$\frac{2 (2 (3 x - 1) - 3 x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.31

重写表达式。

$\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.32

化简。

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解题步骤 1.32.1

运用分配律。

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.32.2

化简分子。

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解题步骤 1.32.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.32.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x + 2 \cdot - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.32.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.32.2.2

从 $6 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = \frac{3 x - 2}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 2$ 且 $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${({(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.2.7.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.7.2

将 $3$ 移到 ${(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 1$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.12

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.13

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 + 0))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.14

合并分数。

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解题步骤 2.14.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 3)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.14.2

组合 $\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) \frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.14.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15

化简。

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解题步骤 2.15.1

运用分配律。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- (3 x) - - 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2

化简分子。

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解题步骤 2.15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- 3 x - - 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- 3 x + 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.2

运用分配律。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 x \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.3

乘以 $- 3 x \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.15.2.3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + x \frac{- 3 (9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.3.2

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + x \frac{- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.2.4.1

约去公因数。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.4.2

重写表达式。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.15.2.5.1.1

重写。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.5.1.2

去掉多余的括号。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x \cdot - 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.5.2

将 $- 27$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 27 \cdot x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.6

要将 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.7

组合 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.9

从 $- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 中分解出因数 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.15.2.9.1

移动 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.9.2

从 $- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 9 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.9.3

从 $9 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.9.4

从 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2)$ 中分解出因数 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.10

要将 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.11

组合 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13

以因式分解的形式重写 $\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}$ 。

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解题步骤 2.15.2.13.1

从 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)$ 中分解出因数 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.15.2.13.1.1

移动 ${(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.1.2

从 $3 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.1.3

从 $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)$ 中分解出因数 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.1.4

从 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 (- 3 x + 2))$ 中分解出因数 $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{1} + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.3

化简。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 x - 1) + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.4

运用分配律。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 2 \cdot - 1 + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.7

运用分配律。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.8

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 - 9 x + 3 \cdot 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 - 9 x + 6)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.10

从 $6 x$ 中减去 $9 x$ 。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 2 + 6)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.2.13.11

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.3

合并项。

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解题步骤 2.15.3.1

将 $\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2} \cdot \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.3.2

将 $\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ 。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15.3.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{3} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.3.4

通过指数相加将 ${(3 x - 1)}^{3}$ 乘以 ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.15.3.4.1

移动 ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 ({(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} {(3 x - 1)}^{3})}$

解题步骤 2.15.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

解题步骤 2.15.3.4.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.15.3.4.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.15.3.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.15.3.4.6

化简分子。

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解题步骤 2.15.3.4.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

解题步骤 2.15.3.4.6.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.15.4

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x) + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.15.5

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{3 (- (3 x) - 1 (- 4))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.15.6

从 $- (3 x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x - 4))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.15.7

将 $- (3 x - 4)$ 重写为 $- 1 (3 x - 4)$ 。

$\frac{3 (- 1 (3 x - 4))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.15.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{3 (3 x - 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

微积分学 示例

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