微积分学示例

$y = \sqrt{2 p x}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 p x}$ 重写成 ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从 $2 p x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

对 $2 (p x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = p x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $p x$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 2.3

使用 $p x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 11

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

移动 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 12.2

将 $2^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 12.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 12.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 12.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

解题步骤 13

因为 $p$ 对于 $x$ 是常数，所以 $p x$ 对 $x$ 的导数是 $p \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

组合 $p$ 和 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 16

将 $\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

对 $p x$ 运用乘积法则。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 17.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $p^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2

通过指数相加将 $p$ 乘以 $p^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.2.1

将 $p$ 乘以 $p^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.2.1.1

对 $p$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例