微积分学示例

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 10

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 11

应用指数的基本规则。

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解题步骤 11.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 13.2

化简表达式。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

解题步骤 13.2.2

重新排序项。

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

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