微积分学示例

$y = \frac{(4 x + 2)}{5 x}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x + 2}{5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x + 2$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [4 x + 2] - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + 0) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \cdot 4 - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.8

合并分数。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$ 。

$\frac{4 x - (4 x + 2)}{5 x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{4 x - (4 x) - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x - 4 x - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x - 4 x - 2}{5 x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{0 - 2}{5 x^{2}}$

解题步骤 4.2.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 2}{5 x^{2}}$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{5 x^{2}}$

微积分学 示例

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