微积分学示例

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 相加。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - (1 + \ln (x))}{x^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.3

从 $0$ 中减去 $\ln (x)$ 。

$\frac{- \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

微积分学 示例

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