微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x^{5} - 7$ 。然后使 $d u = 10 x^{4} d x$ ，以便 $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x^{5} - 7$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x^{5} - 7$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x^{5} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x^{4} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $10 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$10 x^{4}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x^{5} - 7$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 7$

解题步骤 1.3.2

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$u_{lower} = - 7$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x^{5} - 7$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

解题步骤 1.5.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 2 - 7$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $7$ 。

$u_{upper} = - 5$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

解题步骤 2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{10}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{10}$ 移到积分外。

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

解题步骤 5

计算 $e^{u}$ 在 $- 5$ 处和在 $- 7$ 处的值。

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{10} \cdot (e^{- 5} - e^{- 7})$

小数形式：

$0.00058260 \dots$

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