微积分学示例

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 2.1.2

将 $\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 乘以 $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ 。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.2

计算 $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $\arcsin (x)$ 的极限值。

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.3.2

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.4.2

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.4.3

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.2.4.4

用 $0$ 除以 $3$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.3

计算 $\sqrt{3}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.3.1.1

约去公因数。

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3.3.1.2

重写表达式。

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.1.3.3.2

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.2

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.4

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $- \frac{π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.8.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.8.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- \sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sqrt{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 4.4

将极限移入根号内。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

解题步骤 4.5

当 $x$ 趋于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

解题步骤 4.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

解题步骤 4.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

解题步骤 5

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2.5

计算指数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

解题步骤 6.3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

解题步骤 6.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

解题步骤 6.3.6

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 6.3.7

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 6.3.8

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 6.3.9

化简分母。

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解题步骤 6.3.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

解题步骤 6.3.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4

将分子乘以分母的倒数。

$1 \cdot 2$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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