微积分学示例

$lim_{x \to 3} (x^{2} - 9) \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

解题步骤 1

将 $x^{2} - 9$ 乘以 $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 3^{-}} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ 在 $x$ 从左边趋于 $3$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |} \\ 2.9 & 0.59 \\ 2.99 & 0.0599 \\ 2.999 & 0.005999 \\ 2.9999 & 0.0005\overline{9} \\ 2.99999 & 0.00005\overline{9} \\ 2.999999 & 0.000005\overline{9} \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $3$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ 在 $x$ 从左边趋于 $3$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $3$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |} \\ 3.1 & 0.61 \\ 3.01 & 0.0601 \\ 3.001 & 0.006001 \\ 3.0001 & 0.00060001 \\ 3.00001 & 0.00006 \\ 3.000001 & 0.000006 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $3$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $3$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

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