微积分学示例

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}$ 重写成 ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2

将 ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.1.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 6 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.2.3

使用 $x^{2} - 6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.6.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.7.2

组合 ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $x^{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 4.10

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \cdot 1)$

解题步骤 4.12

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$

解题步骤 4.13

化简。

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解题步骤 4.13.1

重新排序 $- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$ 的因式。

$- (2 x - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.2

运用分配律。

$(- (2 x) - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.4

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$(- 2 x + 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.5

将 $- 2 x + 6$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{- 2 x + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.6

从 $- 2 x + 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.13.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.6.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2 (3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.6.3

从 $2 (- x) + 2 (3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.8

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.9

从 $- (x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.10

将 $- (x - 3)$ 重写为 $- 1 (x - 3)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.13.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

微积分学 示例

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