微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 3}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 2.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 4.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 \cdot 0 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{1 + 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 8.2.3

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1 + 0}$

解题步骤 8.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 8.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

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