微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 3 & x < - 2 \\ 5 & x = - 2 \\ - 3 x + 1 & x > - 2 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $- 2$ 时，求 $x^{2} + 3$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 3$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 3$

解题步骤 1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 3$

解题步骤 1.2.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

${(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + 3$

解题步骤 1.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(- 2)}^{2} + 3$

解题步骤 1.4

化简答案。

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解题步骤 1.4.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 + 3$

解题步骤 1.4.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$7$

解题步骤 2

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$5$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $- 2$ 时， $x^{2} + 3$ 的极限不等于 $x = - 2$ 处的函数值，因此函数在 $x = - 2$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

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