微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (2 + x)$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

解题步骤 7

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\infty$

解题步骤 8

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

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