微积分学示例

$f (x) = 7 x^{2} + x$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$x = - \frac{1}{14}$

解题步骤 3

计算 $f (- \frac{1}{14})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{14}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{14}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{14})}^{2}) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $\frac{1}{14}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (1 (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{1^{2}}{14^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1^{2}}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.4

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.5

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{196}) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.6

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.6.1

从 $196$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 (28)}) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 \cdot 28}) - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.2.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14}$

解题步骤 3.2.3

要将 $- \frac{1}{14}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $28$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{1}{14}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{14 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{28}$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1 - 2}{28}$

解题步骤 3.2.6

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{- 1}{28}$

解题步骤 3.2.7

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{14}) = - \frac{1}{28}$

解题步骤 3.2.8

最终答案为 $- \frac{1}{28}$ 。

$- \frac{1}{28}$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{28})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例