微积分学示例

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

约去 $4$ 和 $6 - 2 x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

解题步骤 3.1.2.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

解题步骤 3.1.2.3

从 $2 (3) + 2 (- x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

解题步骤 3.1.2.4

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

解题步骤 3.1.2.5

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.3.2.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.3.2.3

从 $2 (3) + 2 (- x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.3.2.4

约去公因数。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.2.3.2.5

重写表达式。

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ 。

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

解题步骤 3.4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 - x^{2}$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 移到 $3 - x^{2}$ 的左侧。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

根据加法法则， $3 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

乘。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

移动 $x$ 。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ 和 $10$ 。

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

解题步骤 3.9

将 $10$ 移到 $2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ 的左侧。

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

对 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.2

对 $2 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.3

运用分配律。

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.4

运用分配律。

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.5

运用分配律。

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6

合并项。

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解题步骤 3.10.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.2

将 $6$ 乘以 $10$ 。

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.7

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.8

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.9

将 $- 20 x^{3}$ 和 $20 x^{3}$ 相加。

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.10

将 $60 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.11

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.12

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.10.6.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.12.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.13

将 $\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ 乘以 $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ 。

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.14

将 $16$ 乘以 $60$ 。

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.15

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 3.10.6.15.1

移动 $x^{8}$ 。

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.15.2

将 $x^{8}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.10.6.15.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.15.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.15.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.10.6.16

通过指数相加将 ${(3 - x^{2})}^{2}$ 乘以 ${(3 - x^{2})}^{4}$ 。

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解题步骤 3.10.6.16.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

解题步骤 3.10.6.16.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.10.7

重新排序项。

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

微积分学 示例

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