微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

解题步骤 2.3.6.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 3 x - 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

用 ${(x - 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.3.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 (2) - 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 - 6$

解题步骤 9.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 2)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 10.2.2.1.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

解题步骤 10.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (0) = \frac{12}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.2

用 $12$ 除以 $2$ 。

$f' (0) = 6$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 10.3

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 10.3.2.1.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

解题步骤 10.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 10.3.2.2.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{12}{2}$

解题步骤 10.3.2.2.2

用 $12$ 除以 $2$ 。

$f' (4) = 6$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.5

对于 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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