微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

解题步骤 1.2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

解题步骤 1.2.4.3

组合 $\frac{2}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.9

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 4.1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

解题步骤 4.1.2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

解题步骤 4.1.2.4.3

组合 $\frac{2}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{1^{2}}$

解题步骤 9.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 9.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \ln (0 + 1)$

解题步骤 11.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \ln (1)$

解题步骤 11.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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