微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}{x - 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

解题步骤 1.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.3.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.1.3.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.6.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $1 - 1 \cdot 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.6.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.6.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $1 - \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.7

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 1)]}$

解题步骤 3.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.8

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.12

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

解题步骤 3.3.14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

解题步骤 3.3.15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 3.3.16

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 3.3.17

化简分子。

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解题步骤 3.3.17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

解题步骤 3.3.17.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

解题步骤 3.3.18

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 3.3.19

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 3.3.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21

化简。

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解题步骤 3.3.21.1

运用分配律。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2

合并项。

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解题步骤 3.3.21.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.21.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.21.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.3.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.4

将 $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.5

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.6

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.7

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.8

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.21.2.9

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 3.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.5.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.5.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

解题步骤 3.7

合并项。

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解题步骤 3.7.1

要将 $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

解题步骤 3.7.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

解题步骤 4.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

解题步骤 4.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

解题步骤 4.5

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.6

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.7

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.8

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.9

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.10

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.11

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.12

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.13

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.14

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.15

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.1.6

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{1}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} \sqrt{1}}$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $\sqrt{1}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{1}}{2}}$

解题步骤 6.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2}}$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

解题步骤 6.6

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 6.7

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 6.7.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.8

将 $- \frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

微积分学 示例

微积分学示例