微积分学示例

$y = e^{\cot (3 z)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = e^{z}$ 且 $g (z) = \cot (3 z)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (3 z)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [\cot (3 z)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [\cot (3 z)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (3 z)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\cot (3 z)} \frac{d}{d z} [\cot (3 z)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = \cot (z)$ 且 $g (z) = 3 z$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 z$ 。

$e^{\cot (3 z)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d z} [3 z])$

解题步骤 2.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$e^{\cot (3 z)} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d z} [3 z])$

解题步骤 2.3

使用 $3 z$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\cot (3 z)} (- \csc^{2} (3 z) \frac{d}{d z} [3 z])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $3 z$ 对 $z$ 的导数是 $3 \frac{d}{d z} [z]$ 。

$e^{\cot (3 z)} (- \csc^{2} (3 z) (3 \frac{d}{d z} [z]))$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z) \frac{d}{d z} [z])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z) \cdot 1)$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z))$

解题步骤 3.4.2

重新排序 $e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z))$ 的因式。

$- 3 e^{\cot (3 z)} \csc^{2} (3 z)$

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