微积分学示例

$\int {(x^{\frac{3}{2}} + 8)}^{5} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\int ({(x^{\frac{3}{2}})}^{5} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{3}{2} \cdot 5} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.1.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.2.1.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $5$ 。

$\int (x^{\frac{3 \cdot 5}{2}} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} \cdot 4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (2))} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2.2.2

约去公因数。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2.2.3

重写表达式。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{3 \cdot 2} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{6} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.4

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{3}{2} \cdot 3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.4.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $3$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{9}{2}} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{9}{2}} \cdot 64 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.6

将 $64$ 乘以 $10$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.7

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

约去公因数。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.7.2.2

重写表达式。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{3} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.8

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{3} \cdot 512 + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.9

将 $512$ 乘以 $10$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.10

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 4096 + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.11

将 $4096$ 乘以 $5$ 。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 20480 x^{\frac{3}{2}} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.12

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 20480 x^{\frac{3}{2}} + 32768) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int x^{\frac{15}{2}} \sqrt{x} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

乘以 $x^{\frac{15}{2}} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{15}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{\frac{15}{2} + \frac{1}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.3

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{15 + 1}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.4

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{\frac{16}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.5

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{\frac{2 \cdot 8}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.5.2.2

约去公因数。

$\int x^{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.5.2.3

重写表达式。

$\int x^{\frac{8}{1}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.1.5.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2

乘以 $640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{9}{2}}) + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{1}{2} + \frac{9}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{1 + 9}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.4

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{10}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.5

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.5.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{2 \cdot 5}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.5.2.2

约去公因数。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.5.2.3

重写表达式。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{5}{1}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.2.5.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3

乘以 $20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.3

在公分母上合并分子。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{4}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.5.2.2

约去公因数。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.5.2.3

重写表达式。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2}{1}} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.4.3.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{6} x^{\frac{1}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{8} + 40 (x^{\frac{1}{2}} x^{6}) + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1}{2} + 6} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.3

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.4

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1 + 6 \cdot 2}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1 + 12}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.6.2

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} x^{\frac{1}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1}{2} + 3} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4.6

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1 + 6}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.4.6.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{7}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{8} d x + \int 40 x^{\frac{13}{2}} d x + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{8}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{9} x^{9}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + \int 40 x^{\frac{13}{2}} d x + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

由于 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $40$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 \int x^{\frac{13}{2}} d x + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{13}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

由于 $640$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $640$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 \int x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 9

由于 $5120$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5120$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 \int x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{7}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 11

由于 $20480$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20480$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 \int x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 32768 \sqrt{x} d x$

解题步骤 13

由于 $32768$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $32768$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 32768 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 14

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 32768 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 15

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 32768 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简。

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + 32768 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 16.2

化简。

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解题步骤 16.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + 32768 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 16.2.2

组合 $32768$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + \frac{32768 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

解题步骤 16.2.3

将 $2$ 乘以 $32768$ 。

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + \frac{65536 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 16.3

重新排序项。

$\frac{1}{9} x^{9} + \frac{16}{3} x^{\frac{15}{2}} + \frac{320}{3} x^{6} + \frac{10240}{9} x^{\frac{9}{2}} + \frac{20480}{3} x^{3} + \frac{65536}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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