微积分学示例

$\int (2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int 2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

通过将 $x^{7}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 8.2.2

将 ${(x^{7})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{7 \cdot - 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 8.2.2.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{- 7} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 7}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{6} x^{- 6}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6} x^{- 6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $x^{- 6}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{x^{- 6}}{6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 6}$ 移动到分母。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 11

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 \int \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 12

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 13

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 \int e^{x} d x$

解题步骤 14

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 (e^{x} + C)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$

解题步骤 15.2

重新排序项。

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$

微积分学 示例

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