微积分学示例

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{1 + x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + x^{4}$ 。

$2 \frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $1 + x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $1 + x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 \frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ 相加。

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 \frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$2 \frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $2$ 和 $\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$ 。

$\frac{2 (1 - 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 6 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

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