微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

解题步骤 1

使 $u_{1} = \ln (y)$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ ，以便 $y d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = \ln (y)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (y)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = \ln (y)$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = \ln (y)$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = \ln (e)$

解题步骤 1.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

使 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $1 + u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

解题步骤 4

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

解题步骤 6.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{2}{1})$

解题步骤 6.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (2)$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2)$

小数形式：

$0.69314718 \dots$

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