微积分学示例

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ 。

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

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