微积分学示例

$- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$

解题步骤 1

将 $- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{6} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

组合 $\frac{- 4}{6}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.6

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.6.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 (2 x)$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $19$ 。

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $- \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.6

组合 $\frac{- 6}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.7

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.7.1

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.4

用 $- 2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [38 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $38$ 对于 $x$ 是常数，所以 $38 x$ 对 $x$ 的导数是 $38 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x^{2} + 38 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x^{2} + 38 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $38$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 38$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 x^{2} + 38$ 。

$- 2 x^{2} + 38$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{2} + 38 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{2} + 38 = 0$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $38$ 。

$- 2 x^{2} = - 38$

解题步骤 2.2.3

将 $- 2 x^{2} = - 38$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- 2 x^{2} = - 38$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 38}{- 2}$

解题步骤 2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.1

用 $- 38$ 除以 $- 2$ 。

$x^{2} = 19$

解题步骤 2.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{19}$

解题步骤 2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{19}$

解题步骤 2.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{19}$

解题步骤 2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - \sqrt{19}) \cup (- \sqrt{19}, \sqrt{19}) \cup (\sqrt{19}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{19})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 7$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 7) = - 2 {(- 7)}^{2} + 38$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 7) = - 2 \cdot 49 + 38$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $49$ 。

$f'' (- 7) = - 98 + 38$

解题步骤 5.2.2

将 $- 98$ 和 $38$ 相加。

$f'' (- 7) = - 60$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 60$ 。

$- 60$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - \sqrt{19})$ 上向下凹，因为 $f'' (- 7)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \sqrt{19})$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 38$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 38$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 38$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 和 $38$ 相加。

$f'' (0) = 38$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $38$ 。

$38$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(\sqrt{19}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (7) = - 2 {(7)}^{2} + 38$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7) = - 2 \cdot 49 + 38$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $49$ 。

$f'' (7) = - 98 + 38$

解题步骤 7.2.2

将 $- 98$ 和 $38$ 相加。

$f'' (7) = - 60$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 60$ 。

$- 60$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(\sqrt{19}, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (7)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\sqrt{19}, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \sqrt{19})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\sqrt{19}, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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