微积分学示例

$\frac{x^{3}}{x + 2}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{3}}{x + 2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{3}}{x + 2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x + 2} d x$

解题步骤 4

用 $x^{3}$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 4.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 4.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 4 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

解题步骤 4.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$

解题步骤 4.12

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$

解题步骤 4.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							+	$4 x$	+	$8$

解题步骤 4.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x + 8$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							-	$4 x$	-	$8$

解题步骤 4.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$8$

解题步骤 4.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 \int x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - \int \frac{8}{x + 2} d x$

解题步骤 12

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - (8 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

解题步骤 13

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 \int \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 14

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 14.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 14.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 14.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 14.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 15

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 16

化简。

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| u |) + C$

解题步骤 17

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{x + 2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

微积分学 示例

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