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微积分学 示例
解题步骤 1
重写微分方程。
解题步骤 2
假设所有解都为 形式。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
求一阶导数。
解题步骤 3.2
求二阶导数。
解题步骤 3.3
代入微分方程。
解题步骤 3.4
去掉圆括号。
解题步骤 3.5
因式分解出 。
解题步骤 3.5.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.5.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.5.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.5.4
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.5.5
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.6
由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
从等式两边同时减去 。
解题步骤 4.2
从 中减去 。
解题步骤 4.3
使用 AC 法来对 进行因式分解。
解题步骤 4.3.1
思考一下 这种形式。找出一对整数，其积为 ，且和为 。在本例中，其积即为 ，和为 。
解题步骤 4.3.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 4.4
如果等式左侧的任一因数等于 ，则整个表达式将等于 。
解题步骤 4.5
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 4.5.1
将 设为等于 。
解题步骤 4.5.2
在等式两边都加上 。
解题步骤 4.6
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 4.6.1
将 设为等于 。
解题步骤 4.6.2
从等式两边同时减去 。
解题步骤 4.7
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 5
使用求到的两个 值，可以构建两个解。
解题步骤 6
根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。
解题步骤 7
将 乘以 。