微积分学示例

$\int_{0}^{2} π {(2 x)}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{2} π {(2 (x))}^{2} d x$

解题步骤 1.2

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{2} π (2^{2} x^{2}) d x$

解题步骤 1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{2} π (4 x^{2}) d x$

解题步骤 1.4

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\int_{0}^{2} 4 π x^{2} d x$

$\int_{0}^{2} 4 π x^{2} d x$

解题步骤 2

由于 $4 π$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4 π$ 移到积分外。

$4 π \int_{0}^{2} x^{2} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 π \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 π \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 π ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 π (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 π (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 π (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 π (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.3.2.2

约去公因数。

$4 π (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.3.2.3

重写表达式。

$4 π (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

解题步骤 4.2.2.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 π (\frac{8}{3} - 0)$

$4 π (\frac{8}{3} - 0)$

$4 π (\frac{8}{3} - 0)$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 π (\frac{8}{3} + 0)$

解题步骤 4.2.2.5

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 π \frac{8}{3}$

解题步骤 4.2.2.6

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{8 \cdot 4}{3} π$

解题步骤 4.2.2.7

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{32}{3} π$

解题步骤 4.2.2.8

组合 $\frac{32}{3}$ 和 $π$ 。

$\frac{32 π}{3}$

$\frac{32 π}{3}$

$\frac{32 π}{3}$

$\frac{32 π}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32 π}{3}$

小数形式：

$33.51032163 \dots$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$