微积分学示例

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 6$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = x - 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $x - 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

解题步骤 2

展开 $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.8

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

解题步骤 2.9

将 $12 u^{2}$ 和 $u^{2}$ 相加。

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

解题步骤 6

由于 $13$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 8.2.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 8.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 8.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 8.2.3

组合 $13$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

解题步骤 9

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例