微积分学示例

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $- 7 x + 5 x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $5 x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.3

从 $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 6

使 $u = - 9 x$ 。然后使 $d u = - 9 d x$ ，以便 $- \frac{1}{9} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = - 9 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 9 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 9$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 9

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 11.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

约去公因数。

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 11.2.2

重写表达式。

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 11.3

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

解题步骤 13

将 $- 7$ 和 $5 x^{4}$ 重新排序。

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

解题步骤 14

用 $5 x^{4} - 7$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 14.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

解题步骤 14.2

将被除数中的最高阶项 $5 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

解题步骤 14.3

将新的商式项乘以除数。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

解题步骤 14.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{4} + 0$ 中的所有符号

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

解题步骤 14.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

解题步骤 14.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 14.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

解题步骤 15

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

解题步骤 16

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

解题步骤 17

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

解题步骤 18

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

解题步骤 19

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

解题步骤 20

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 21

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 22

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 23

化简。

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

解题步骤 24

使用 $- 9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

解题步骤 25

重新排序项。

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

解题步骤 26

答案是函数 $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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