微积分学示例

$lim_{x \to 2} {(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$ 。

$lim_{x \to 2} e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x - 2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})$ 。

$lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{x - 2}$ 和 $\ln (\frac{x}{2})$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.2.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

解题步骤 3.1.3.1.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{\frac{0}{2 - 2}}$

解题步骤 3.1.3.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.5

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.7.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.7.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.9

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

解题步骤 3.3.10

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

解题步骤 3.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

解题步骤 3.3.12

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

解题步骤 3.3.13

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 2} x}}$

解题步骤 5

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{\frac{1}{2}}$

小数形式：

$1.64872127 \dots$

微积分学 示例

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