微积分学示例

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

解题步骤 1

求 $x = - 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2

化简 $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ 。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

解题步骤 1.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$y = 1 - 5 + 2$

解题步骤 1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$y = - 4 + 2$

解题步骤 1.2.2.2

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$y = - 2$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = - 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 3 x^{2} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 x^{2} - 10 x$

解题步骤 2.5

计算在 $x = - 1$ 处的导数。

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 - 10 \cdot - 1$

解题步骤 2.6.1.3

将 $- 10$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 + 10$

解题步骤 2.6.2

将 $- 3$ 和 $10$ 相加。

$7$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $7$ 和给定点 $(- 1, - 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $7 \cdot (x + 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$y + 2 = 7 x + 7$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = 7 x + 7 - 2$

解题步骤 3.3.2.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$y = 7 x + 5$

解题步骤 4

微积分学 示例

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