微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{- 1} + 3^{- 1}}{h}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1.1

将负指数转换成分数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + 3^{- 1}}{h}$

解题步骤 1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + \frac{1}{3}}{h}$

解题步骤 1.1.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.1

要将 $\frac{1}{- 3 + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{h}$

解题步骤 1.1.2.2

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

解题步骤 1.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- 3 + h) \cdot 3$ 的形式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $\frac{1}{- 3 + h}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

解题步骤 1.1.2.3.3

重新排序 $(- 3 + h) \cdot 3$ 的因式。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{3 (- 3 + h)} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

解题步骤 1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

解题步骤 1.1.2.5

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $0$ 和 $h$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

解题步骤 1.2

化简极限自变量。

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解题步骤 1.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{h}{3 (- 3 + h)}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

解题步骤 1.2.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

解题步骤 1.2.3.2

重写表达式。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 (- 3 + h)}$

解题步骤 1.3

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{- 3 + h}$

解题步骤 1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

解题步骤 1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

解题步骤 1.6

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.7

计算 $3$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + 0}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 + 0}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

解题步骤 3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

解题步骤 3.3

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{9}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{9}$

小数形式：

$- 0.\overline{1}$

微积分学 示例

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