微积分学示例

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \cos (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $4 \cos (x) \sin (x)$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 4.1.2

从 $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \cos (x) \sin (x)$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 4.1.3

从 $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4 \cos (x) \sin (x)$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 4.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 4.3

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

解题步骤 4.4

从 $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

解题步骤 4.5

重新整理项。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.6

使用勾股恒等式。

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

解题步骤 4.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

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