微积分学示例

$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} + \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} + C$

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