微积分学示例

$\int_{0}^{3} (\frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2}) d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 5

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \int_{0}^{3} y^{2} d y$

解题步骤 6

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{1}{2} y^{2}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{1}{3} y^{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.6

将 $\frac{9}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.7

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.8

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.9

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.12

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.12.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.12.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 7.3.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

解题步骤 7.3.14

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 7.3.15

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0)$

解题步骤 7.3.16

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} \cdot 9$

解题步骤 7.3.17

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{27}{8} - 9 (\frac{1}{4})$

解题步骤 7.3.18

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{27}{8} + \frac{- 9}{4}$

解题步骤 7.3.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4}$

解题步骤 7.3.20

要将 $- \frac{9}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.21

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 7.3.21.1

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.21.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8}$

解题步骤 7.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{8}$

解题步骤 7.3.23

化简分子。

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解题步骤 7.3.23.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{27 - 18}{8}$

解题步骤 7.3.23.2

从 $27$ 中减去 $18$ 。

$\frac{9}{8}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9}{8}$

小数形式：

$1.125$

带分数形式：

$1 \frac{1}{8}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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