微积分学示例

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 1

将 $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

解题步骤 5

使 $u_{2} = \sec (3 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = \sec (3 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sec (3 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 5.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.1.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.1.3

求微分。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

解题步骤 5.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.1.3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

解题步骤 5.1.3.3.2

将 $3$ 移到 $\sec (3 x) \tan (3 x)$ 的左侧。

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ 。

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

解题步骤 7.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

解题步骤 7.3

使用 $\sec (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

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