微积分学示例

$\sum_{k = 0}^{6} (\frac{3}{2}) \cdot k^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $k^{2}$ 。

$\frac{3 k^{2}}{2}$

解题步骤 1.2

重写该总和。

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$

解题步骤 2

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} + \sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

从总和中因式分解出 $\frac{3}{2}$ 。

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$

解题步骤 3.2

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

解题步骤 3.4.1.2

合并指数。

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解题步骤 3.4.1.2.1

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (12 + 1)}{6}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 \cdot 13}{6}$

解题步骤 3.4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $42$ 乘以 $13$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{6}$

解题步骤 3.4.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 (2)}$

解题步骤 3.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{546}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1

从 $546$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (273)}{2}$

解题步骤 3.4.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 273}{2}$

解题步骤 3.4.2.3.3

重写表达式。

$\frac{273}{2}$

解题步骤 4

计算 $\sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{3 \cdot 0^{2}}{2}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{2}$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

解题步骤 5

用求得的值替换总和。

$\frac{273}{2} + 0$

解题步骤 6

将 $\frac{273}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{273}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{273}{2}$

小数形式：

$136.5$

带分数形式：

$136 \frac{1}{2}$

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