微积分学示例

$\int_{0}^{1} (x + \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} x + \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.5

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.6

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.7.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.7.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 + 4}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.9.2

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.12

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2.13

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.2.14

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.14.1

约去公因数。

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.2.14.2

重写表达式。

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.2.15

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 6.2.2.16

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{6} - (0 + 0)$

解题步骤 6.2.2.17

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{6} - 0$

解题步骤 6.2.2.18

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{6} + 0$

解题步骤 6.2.2.19

将 $\frac{7}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{6}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{6}$

小数形式：

$1.1\overline{6}$

带分数形式：

$1 \frac{1}{6}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例