微积分学示例

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{8}{x^{2} - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{x}{x - 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} - 4) (x - 2)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{8}{x^{2} - 4}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{x - 2}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x^{2} - 4) (x - 2)$ 的因式。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 lim_{x \to 2^{+}} x - 2 - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.5

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.6

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.8

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.9

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.9.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.9.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.9.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.10.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 (2 - 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8 \cdot 0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.10.1.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.6

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.2.10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2 \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

解题步骤 2.1.3.4

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

解题步骤 2.1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

解题步骤 2.1.3.6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.7.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 2.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.8.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 2.1.3.8.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

解题步骤 2.1.3.8.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.8.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 (x - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x - 2]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.3.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x (x^{2} - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.3

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.7

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.12

将 $x^{2} - 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.4.13

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

运用分配律。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2}) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.5.2

合并项。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

解题步骤 2.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.7

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.9

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.11

将 $2$ 移到 $x - 2$ 的左侧。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.12

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

解题步骤 2.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

解题步骤 2.3.14

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.15

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

解题步骤 2.3.16

将 $x^{2} - 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17

化简。

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解题步骤 2.3.17.1

运用分配律。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.2

运用分配律。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.3

合并项。

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解题步骤 2.3.17.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.3.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

解题步骤 2.3.17.3.6

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} - 3 x^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.1.4

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 3 \cdot 2^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 3 \cdot 4 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

解题步骤 3.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

解题步骤 3.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

解题步骤 3.1.3.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.3.6

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.6.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.3.7.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.3.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

解题步骤 3.1.3.7.2

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 3.1.3.7.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.5

将 $- 6 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $3 x^{2} - 4 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.7.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.8.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + 0}$

解题步骤 3.3.10

将 $6 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4}$

解题步骤 3.4

约去 $- 6$ 和 $6 x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{6 x - 4}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) - 4}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

解题步骤 3.4.2.3

从 $2 (3 x) + 2 (- 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

解题步骤 3.4.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

解题步骤 3.4.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x}{3 x - 2}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{3 x - 2}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - 2}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

解题步骤 4.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

解题步骤 4.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 3 \frac{2}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 3 \frac{2}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

约去 $2$ 和 $3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $3 \cdot 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2

从 $- 1 \cdot 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)}$

解题步骤 6.1.3

从 $- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2 + 2)}$

解题步骤 6.1.4

将 $- (- 3 \cdot 2 + 2)$ 重写为 $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ 。

$- 3 \frac{2}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

解题步骤 6.1.5

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

解题步骤 6.1.6

约去公因数。

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解题步骤 6.1.6.1

从 $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

解题步骤 6.1.6.2

约去公因数。

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

解题步骤 6.1.6.3

重写表达式。

$- 3 \frac{1}{- 1 (- 3 + 1)}$

解题步骤 6.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- 3 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 3 + 1)}$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- 3 (- \frac{1}{- 3 + 1})$

解题步骤 6.3

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (- \frac{1}{- 2})$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$- 3 (- - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.5

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (1 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 6.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.6

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 3}{2}$

解题步骤 6.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2}$

微积分学 示例

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