微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 4.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.5

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{8}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{8}$

小数形式：

$0.39269908 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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