微积分学示例

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

解题步骤 1

将 $e^{- θ}$ 和 $\cos (2 θ)$ 重新排序。

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 θ)$ ， $d v = e^{- θ}$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

解题步骤 3

由于 $- - 2$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $- - 2$ 移到积分外。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

解题步骤 4.3

将 $e^{- θ}$ 和 $\sin (2 θ)$ 重新排序。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 θ)$ ， $d v = e^{- θ}$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 6

由于 $- 1 \cdot 2$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $- 1 \cdot 2$ 移到积分外。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

解题步骤 7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

解题步骤 7.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 7.4

乘。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

解题步骤 8

求解 $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ ，我们发现 $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ 。

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ 重写为 $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ 。

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ 中分解出因数 $e^{- θ}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ 中分解出因数 $e^{- θ}$ 。

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

解题步骤 9.2.1.2

从 $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ 中分解出因数 $e^{- θ}$ 。

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

解题步骤 9.2.1.3

从 $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ 中分解出因数 $e^{- θ}$ 。

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

解题步骤 9.2.2

从 $- \cos (2 θ)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

解题步骤 9.2.3

从 $2 \sin (2 θ)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

解题步骤 9.2.4

从 $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

解题步骤 9.2.5

将 $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ 重写为 $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ 。

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

解题步骤 9.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$

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