微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\tan (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

解题步骤 3

将 $\tan (x) \ln (\sin (x))$ 重写为 $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

解题步骤 4.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (\sin (x))$ 无限递减。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.3.1

应用三角恒等式。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

解题步骤 4.1.3.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

解题步骤 4.1.3.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

解题步骤 4.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

解题步骤 4.3.4

组合 $\frac{1}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

解题步骤 4.3.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

解题步骤 4.3.6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

解题步骤 4.3.7

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

解题步骤 4.3.8

化简。

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解题步骤 4.3.8.1

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

解题步骤 4.3.8.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

解题步骤 4.3.9

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.10

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.11

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.12

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.15

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.16

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.17

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20

化简。

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解题步骤 4.3.20.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.20.1.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20.1.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20.1.3

从 $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20.1.4

使用勾股恒等式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20.2

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\sin^{2} (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.6

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $\cos (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

解题步骤 4.6.2.4

用 $\cos (x) \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

解题步骤 5.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

解题步骤 5.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 7.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- 1 \cdot 0}$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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