微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - \sin (2 x)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

解题步骤 2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

解题步骤 3

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 x)$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

解题步骤 6

将 $\frac{π}{6}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\tan (2 (- 1) \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.1.3

约去公因数。

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.1.4

重写表达式。

$\tan (- \frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.2

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\tan (\frac{5 π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$- \tan (\frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 7.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 7.1.5.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 7.1.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 7.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.2

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.3

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$- 2.59807621 \dots$

微积分学 示例

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