微积分学示例

$y = 4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 2 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $16 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (8 x^{2}) + 6 x^{2} - 2 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (3 x) - 2 x = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (3 x) + 2 x (- 1) = 0$

解题步骤 5.2.4

从 $2 x (8 x^{2}) + 2 x (3 x)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (8 x^{2} + 3 x) + 2 x (- 1) = 0$

解题步骤 5.2.5

从 $2 x (8 x^{2} + 3 x) + 2 x (- 1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (8 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$8 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $8 x^{2} + 3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $8 x^{2} + 3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$8 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $8 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 8$ 、 $b = 3$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 1)}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $9$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

将 $9$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.4.5

从 $\sqrt{41}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{41})}{16}$

解题步骤 5.5.2.4.6

从 $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{41})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{41})}{16}$

解题步骤 5.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

将 $9$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.5.5

从 $- \sqrt{41}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{41})}{16}$

解题步骤 5.5.2.5.6

从 $- 1 (3) - (\sqrt{41})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{41})}{16}$

解题步骤 5.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $2 x (8 x^{2} + 3 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$48 {(0)}^{2} + 12 (0) - 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$48 \cdot 0 + 12 (0) - 2$

解题步骤 9.1.2

将 $48$ 乘以 $0$ 。

$0 + 12 (0) - 2$

解题步骤 9.1.3

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 2$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 2$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 4 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 10$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 4 \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 10$

解题步骤 11.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 10$

解题步骤 11.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 10$

解题步骤 11.2.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 10$

解题步骤 11.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 10$

解题步骤 11.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 10$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 10$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 10$

解题步骤 11.2.2.3

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$f (0) = 10$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $10$ 。

$y = 10$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$48 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$48 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$48 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$48 (1 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.3

将 $\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$48 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.4

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$48 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$16 (3) \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.5.2

从 $256$ 中分解出因数 $16$ 。

$16 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.5.3

约去公因数。

$16 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.5.4

重写表达式。

$3 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.7

将 ${(3 - \sqrt{41})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ 。

$\frac{3 ((3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 (3 - \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.8.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.8.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.9.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.4

乘以 $- \sqrt{41} (- \sqrt{41})$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 1 \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.4.2

将 $\sqrt{41}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.4.3

对 $\sqrt{41}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.4.4

对 $\sqrt{41}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1 + 1})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{2})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.5

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{1})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.1.5.5

计算指数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41)}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.2

将 $9$ 和 $41$ 相加。

$\frac{3 (50 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.9.3

从 $- 3 \sqrt{41}$ 中减去 $3 \sqrt{41}$ 。

$\frac{3 (50 - 6 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.10

约去 $50 - 6 \sqrt{41}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.10.1

从 $3 (50 - 6 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (25 - 3 \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (25 - 3 \sqrt{41}))}{2 (8)} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (25 - 3 \sqrt{41}))}{2 \cdot 8} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 13.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.11.1

将 $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 12 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{16} - 2$

解题步骤 13.1.11.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 4 (3) \frac{- (3 - \sqrt{41})}{16} - 2$

解题步骤 13.1.11.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

解题步骤 13.1.11.4

约去公因数。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

解题步骤 13.1.11.5

重写表达式。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 3 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{4} - 2$

解题步骤 13.1.12

组合 $3$ 和 $\frac{- (3 - \sqrt{41})}{4}$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{3 (- (3 - \sqrt{41}))}{4} - 2$

解题步骤 13.1.13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{- 3 (3 - \sqrt{41})}{4} - 2$

解题步骤 13.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4} - 2$

解题步骤 13.2

求公分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $\frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - (\frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 2$

解题步骤 13.2.2

将 $\frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 2$

解题步骤 13.2.3

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 13.2.4

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 13.2.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41}) - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4

化简每一项。

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解题步骤 13.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 25 + 3 (- 3 \sqrt{41}) - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{75 + 3 (- 3 \sqrt{41}) - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.4

运用分配律。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} + (- 3 \cdot 3 - 3 (- \sqrt{41})) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} + (- 9 - 3 (- \sqrt{41})) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} + (- 9 + 3 \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.7

运用分配律。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 9 \cdot 2 + 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.8

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 18 + 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 18 + 6 \sqrt{41} - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.10

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 18 + 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

解题步骤 13.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 13.5.1

从 $75$ 中减去 $18$ 。

$\frac{57 - 9 \sqrt{41} + 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

解题步骤 13.5.2

从 $57$ 中减去 $16$ 。

$\frac{41 - 9 \sqrt{41} + 6 \sqrt{41}}{8}$

解题步骤 13.5.3

将 $- 9 \sqrt{41}$ 和 $6 \sqrt{41}$ 相加。

$\frac{41 - 3 \sqrt{41}}{8}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{4} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{4}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (1 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.3

将 $\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.4

对 $16$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{65536}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.5.1

从 $65536$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{4 (16384)}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.5.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{4 \cdot 16384}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.5.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.6

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{41})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.7.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{41})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{41})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 (- \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.4

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.6

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 {(- \sqrt{41})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.7

对 $- \sqrt{41}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 (1 {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.9

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 {\sqrt{41}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.10

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 15.2.1.7.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.7.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.7.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.10.5

计算指数。

解题步骤 15.2.1.7.11

将 $54$ 乘以 $41$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 {(- \sqrt{41})}^{3} + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.13

对 $- \sqrt{41}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{41}}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- {\sqrt{41}}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.15

将 ${\sqrt{41}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{41^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{41^{3}}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.16

对 $41$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{68921}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.17

将 $68921$ 重写为 $41^{2} \cdot 41$ 。

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解题步骤 15.2.1.7.17.1

从 $68921$ 中分解出因数 $1681$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{1681 (41)}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.17.2

将 $1681$ 重写为 $41^{2}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{41^{2} \cdot 41}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.18

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- (41 \sqrt{41})) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.19

将 $41$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- 41 \sqrt{41}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.20

将 $- 41$ 乘以 $12$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.21

对 $- \sqrt{41}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 1 {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.23

将 ${\sqrt{41}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24

将 ${\sqrt{41}}^{4}$ 重写为 $41^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.7.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{4}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.7.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.7.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{2}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.7.25

对 $41$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.8

将 $81$ 和 $2214$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{2295 - 108 \sqrt{41} - 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.9

将 $2295$ 和 $1681$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 - 108 \sqrt{41} - 492 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.10

从 $- 108 \sqrt{41}$ 中减去 $492 \sqrt{41}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 - 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.11

约去 $3976 - 600 \sqrt{41}$ 和 $16384$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.11.1

从 $3976$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) - 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.11.2

从 $- 600 \sqrt{41}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) + 8 (- 75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.11.3

从 $8 (497) + 8 (- 75 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 - 75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.11.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.11.4.1

从 $16384$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 - 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.11.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 - 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.11.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.12.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.12.2

对 $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}})) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.14

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.1

将 $- \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{4096}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.15.2

从 $4096$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{2 (2048)}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.15.3

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{2 \cdot 2048}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.15.4

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.16

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{41})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.17.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{41})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.17.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.17.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 15.2.1.17.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{3} (- \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 (- \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.4

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 {(- \sqrt{41})}^{2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.6

对 $- \sqrt{41}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 (1 {\sqrt{41}}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.8

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 {\sqrt{41}}^{2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.9

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 15.2.1.17.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.17.9.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.9.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.9.5

计算指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.10

将 $9$ 乘以 $41$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.11

对 $- \sqrt{41}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.13

将 ${\sqrt{41}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{41^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{41^{3}})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.14

对 $41$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{68921})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.15

将 $68921$ 重写为 $41^{2} \cdot 41$ 。

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解题步骤 15.2.1.17.15.1

从 $68921$ 中分解出因数 $1681$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{1681 (41)})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.15.2

将 $1681$ 重写为 $41^{2}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{41^{2} \cdot 41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.16

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - (41 \sqrt{41}))}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.17.17

将 $41$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.18

将 $27$ 和 $369$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 - 27 \sqrt{41} - 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.19

从 $- 27 \sqrt{41}$ 中减去 $41 \sqrt{41}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 - 68 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.20

约去 $396 - 68 \sqrt{41}$ 和 $2048$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.20.1

从 $- (396 - 68 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 - 17 \sqrt{41}))}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.20.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.20.2.1

从 $2048$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 - 17 \sqrt{41}))}{4 (512)} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.20.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 - 17 \sqrt{41}))}{4 \cdot 512} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.20.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (99 - 17 \sqrt{41})}{512} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.21

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 15.2.1.22

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.22.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 10$

解题步骤 15.2.1.22.2

对 $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

解题步骤 15.2.1.23

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.23.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

解题步骤 15.2.1.23.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 15.2.1.23.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

解题步骤 15.2.1.23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

解题步骤 15.2.1.23.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

解题步骤 15.2.1.24

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 10$

解题步骤 15.2.1.25

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.26

将 ${(3 - \sqrt{41})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.27

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ 。

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解题步骤 15.2.1.27.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.27.2

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.27.3

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.28.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.28.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.4

乘以 $- \sqrt{41} (- \sqrt{41})$ 。

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解题步骤 15.2.1.28.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 1 \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.2

将 $\sqrt{41}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.3

对 $\sqrt{41}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.4

对 $\sqrt{41}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1 + 1}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{2}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.5

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 15.2.1.28.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.28.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.5

计算指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.2

将 $9$ 和 $41$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.28.3

从 $- 3 \sqrt{41}$ 中减去 $3 \sqrt{41}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 - 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.29

约去 $50 - 6 \sqrt{41}$ 和 $256$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.29.1

从 $50$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) - 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.29.2

从 $- 6 \sqrt{41}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) + 2 (- 3 \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.29.3

从 $2 (25) + 2 (- 3 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 - 3 \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 15.2.1.29.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.29.4.1

从 $256$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 - 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

解题步骤 15.2.1.29.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 - 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

解题步骤 15.2.1.29.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - (\frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - (\frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} \cdot \frac{16}{16}) + 10$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + 10$

解题步骤 15.2.2.5

将 $10$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $\frac{10}{1}$ 乘以 $\frac{2048}{2048}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1} \cdot \frac{2048}{2048}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $\frac{10}{1}$ 乘以 $\frac{2048}{2048}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.2.8

重新排序 $512 \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{4 \cdot 512} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.2.9

将 $4$ 乘以 $512$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.2.10

重新排序 $128 \cdot 16$ 的因式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{16 \cdot 128} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.2.11

将 $16$ 乘以 $128$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{2048} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - (99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 99 - (- 17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $99$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} + (- 99 - (- 17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $- 17$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} + (- 99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 99 \cdot 4 + 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $- 99$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $4$ 乘以 $17$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 25 - (- 3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} + (- 25 - (- 3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.9

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} + (- 25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 25 \cdot 16 + 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.11

将 $- 25$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 400 + 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.12

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 400 + 48 \sqrt{41} + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 15.2.4.13

将 $10$ 乘以 $2048$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 400 + 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

解题步骤 15.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $497$ 中减去 $396$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{101 - 75 \sqrt{41} + 68 \sqrt{41} - 400 + 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

解题步骤 15.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.5.2.1

从 $101$ 中减去 $400$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{- 299 - 75 \sqrt{41} + 68 \sqrt{41} + 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

解题步骤 15.2.5.2.2

将 $- 299$ 和 $20480$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 - 75 \sqrt{41} + 68 \sqrt{41} + 48 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 75 \sqrt{41}$ 和 $68 \sqrt{41}$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 - 7 \sqrt{41} + 48 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 7 \sqrt{41}$ 和 $48 \sqrt{41}$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048}$ 。

$y = \frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 16

计算在 $x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$48 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.1.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$48 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.1.2

对 $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$48 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$48 (1 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.3

将 $\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$48 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.4

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$48 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.5.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$16 (3) \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.5.2

从 $256$ 中分解出因数 $16$ 。

$16 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.5.3

约去公因数。

$16 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.5.4

重写表达式。

$3 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.7

将 ${(3 + \sqrt{41})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ 。

$\frac{3 ((3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ 。

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解题步骤 17.1.8.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 (3 + \sqrt{41}) + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.8.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.8.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.9.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{41}$ 的左侧。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \cdot \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41 \cdot 41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.1.4

将 $41$ 乘以 $41$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{1681})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.1.5

将 $1681$ 重写为 $41^{2}$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41^{2}})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + 41)}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.2

将 $9$ 和 $41$ 相加。

$\frac{3 (50 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.9.3

将 $3 \sqrt{41}$ 和 $3 \sqrt{41}$ 相加。

$\frac{3 (50 + 6 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.10

约去 $50 + 6 \sqrt{41}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.10.1

从 $3 (50 + 6 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (25 + 3 \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (25 + 3 \sqrt{41}))}{2 (8)} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (25 + 3 \sqrt{41}))}{2 \cdot 8} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

解题步骤 17.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.11.1

将 $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 12 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{16} - 2$

解题步骤 17.1.11.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 4 (3) \frac{- (3 + \sqrt{41})}{16} - 2$

解题步骤 17.1.11.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

解题步骤 17.1.11.4

约去公因数。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

解题步骤 17.1.11.5

重写表达式。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 3 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{4} - 2$

解题步骤 17.1.12

组合 $3$ 和 $\frac{- (3 + \sqrt{41})}{4}$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{3 (- (3 + \sqrt{41}))}{4} - 2$

解题步骤 17.1.13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{- 3 (3 + \sqrt{41})}{4} - 2$

解题步骤 17.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4} - 2$

解题步骤 17.2

求公分母。

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解题步骤 17.2.1

将 $\frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - (\frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 2$

解题步骤 17.2.2

将 $\frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 2$

解题步骤 17.2.3

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 17.2.4

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 17.2.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41}) - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 25 + 3 (3 \sqrt{41}) - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{75 + 3 (3 \sqrt{41}) - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.4

运用分配律。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} + (- 3 \cdot 3 - 3 \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} + (- 9 - 3 \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.6

运用分配律。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.7

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 18 - 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.8

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 18 - 6 \sqrt{41} - 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.9

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 18 - 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

解题步骤 17.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 17.5.1

从 $75$ 中减去 $18$ 。

$\frac{57 + 9 \sqrt{41} - 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

解题步骤 17.5.2

从 $57$ 中减去 $16$ 。

$\frac{41 + 9 \sqrt{41} - 6 \sqrt{41}}{8}$

解题步骤 17.5.3

从 $9 \sqrt{41}$ 中减去 $6 \sqrt{41}$ 。

$\frac{41 + 3 \sqrt{41}}{8}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{4} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.1.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{4}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.1.2

对 $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (1 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.3

将 $\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.4

对 $16$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{65536}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.5.1

从 $65536$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{4 (16384)}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.5.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{4 \cdot 16384}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.5.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.6

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.7.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (9 {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.5

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 {\sqrt{41}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.6

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 19.2.1.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.7.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.7.6.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41 + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.6.5

计算指数。

解题步骤 19.2.1.7.7

将 $54$ 乘以 $41$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 {\sqrt{41}}^{3} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.9

将 ${\sqrt{41}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{41^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{41^{3}} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.10

对 $41$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{68921} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.11

将 $68921$ 重写为 $41^{2} \cdot 41$ 。

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解题步骤 19.2.1.7.11.1

从 $68921$ 中分解出因数 $1681$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{1681 (41)} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.11.2

将 $1681$ 重写为 $41^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{41^{2} \cdot 41} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.12

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (41 \sqrt{41}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.13

将 $41$ 乘以 $12$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14

将 ${\sqrt{41}}^{4}$ 重写为 $41^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.7.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{4}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.7.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.7.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{2}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.7.15

对 $41$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.8

将 $81$ 和 $2214$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{2295 + 108 \sqrt{41} + 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.9

将 $2295$ 和 $1681$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 + 108 \sqrt{41} + 492 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.10

将 $108 \sqrt{41}$ 和 $492 \sqrt{41}$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 + 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.11

约去 $3976 + 600 \sqrt{41}$ 和 $16384$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.11.1

从 $3976$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) + 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.11.2

从 $600 \sqrt{41}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) + 8 (75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.11.3

从 $8 (497) + 8 (75 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 + 75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.11.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.11.4.1

从 $16384$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 + 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.11.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 + 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.11.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.12.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.12.2

对 $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}})) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.14

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.1

将 $- \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{4096}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.15.2

从 $4096$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{2 (2048)}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.15.3

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{2 \cdot 2048}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.15.4

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.16

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.17.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.17.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.17.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 19.2.1.17.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{1 + 2} \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{3} \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 {\sqrt{41}}^{2} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.5

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 19.2.1.17.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.17.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.5.5

计算指数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.6

将 $9$ 乘以 $41$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.7

将 ${\sqrt{41}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{41^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{41^{3}})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.8

对 $41$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{68921})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.9

将 $68921$ 重写为 $41^{2} \cdot 41$ 。

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解题步骤 19.2.1.17.9.1

从 $68921$ 中分解出因数 $1681$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{1681 (41)})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.9.2

将 $1681$ 重写为 $41^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{41^{2} \cdot 41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.17.10

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.18

将 $27$ 和 $369$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 + 27 \sqrt{41} + 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.19

将 $27 \sqrt{41}$ 和 $41 \sqrt{41}$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 + 68 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.20

约去 $396 + 68 \sqrt{41}$ 和 $2048$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.20.1

从 $- (396 + 68 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 + 17 \sqrt{41}))}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.20.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.20.2.1

从 $2048$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 + 17 \sqrt{41}))}{4 (512)} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.20.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 + 17 \sqrt{41}))}{4 \cdot 512} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.20.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (99 + 17 \sqrt{41})}{512} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.21

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

解题步骤 19.2.1.22

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.22.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 10$

解题步骤 19.2.1.22.2

对 $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

解题步骤 19.2.1.23

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.23.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

解题步骤 19.2.1.23.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 19.2.1.23.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

解题步骤 19.2.1.23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

解题步骤 19.2.1.23.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

解题步骤 19.2.1.24

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 10$

解题步骤 19.2.1.25

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.26

将 ${(3 + \sqrt{41})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.27

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ 。

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解题步骤 19.2.1.27.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.27.2

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.27.3

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.28.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.28.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{41}$ 的左侧。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \cdot \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41 \cdot 41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.1.4

将 $41$ 乘以 $41$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{1681}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.1.5

将 $1681$ 重写为 $41^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41^{2}}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + 41}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.2

将 $9$ 和 $41$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.28.3

将 $3 \sqrt{41}$ 和 $3 \sqrt{41}$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 + 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.29

约去 $50 + 6 \sqrt{41}$ 和 $256$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.29.1

从 $50$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) + 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.29.2

从 $6 \sqrt{41}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) + 2 (3 \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.29.3

从 $2 (25) + 2 (3 \sqrt{41})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 + 3 \sqrt{41})}{256} + 10$

解题步骤 19.2.1.29.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.29.4.1

从 $256$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 + 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

解题步骤 19.2.1.29.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 + 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

解题步骤 19.2.1.29.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $\frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - (\frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

解题步骤 19.2.2.3

将 $\frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - (\frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} \cdot \frac{16}{16}) + 10$

解题步骤 19.2.2.4

将 $\frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + 10$

解题步骤 19.2.2.5

将 $10$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1}$

解题步骤 19.2.2.6

将 $\frac{10}{1}$ 乘以 $\frac{2048}{2048}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1} \cdot \frac{2048}{2048}$

解题步骤 19.2.2.7

将 $\frac{10}{1}$ 乘以 $\frac{2048}{2048}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.2.8

重新排序 $512 \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{4 \cdot 512} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.2.9

将 $4$ 乘以 $512$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.2.10

重新排序 $128 \cdot 16$ 的因式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{16 \cdot 128} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.2.11

将 $16$ 乘以 $128$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{2048} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - (99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 99 - (17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $99$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} + (- 99 - (17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.3

将 $17$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} + (- 99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 99 \cdot 4 - 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.5

将 $- 99$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.6

将 $4$ 乘以 $- 17$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 25 - (3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.8

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} + (- 25 - (3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} + (- 25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 25 \cdot 16 - 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.11

将 $- 25$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 400 - 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.12

将 $16$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 400 - 48 \sqrt{41} + 10 \cdot 2048}{2048}$

解题步骤 19.2.4.13

将 $10$ 乘以 $2048$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 400 - 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

解题步骤 19.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 19.2.5.1

从 $497$ 中减去 $396$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{101 + 75 \sqrt{41} - 68 \sqrt{41} - 400 - 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

解题步骤 19.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.5.2.1

从 $101$ 中减去 $400$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{- 299 + 75 \sqrt{41} - 68 \sqrt{41} - 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

解题步骤 19.2.5.2.2

将 $- 299$ 和 $20480$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 + 75 \sqrt{41} - 68 \sqrt{41} - 48 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 19.2.5.3

从 $75 \sqrt{41}$ 中减去 $68 \sqrt{41}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 + 7 \sqrt{41} - 48 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 19.2.5.4

从 $7 \sqrt{41}$ 中减去 $48 \sqrt{41}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $\frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048}$ 。

$y = \frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$ 的局部极值。

$(0, 10)$ 是一个局部最大值

$(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, \frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}, \frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例