微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

解题步骤 1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 1.11.2

将 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.2

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

因为没有任何值可以使一阶导数为 $0$ ，所以没有拐点。

没有拐点

解题步骤 4

微积分学 示例

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