微积分学示例

$y = \arctan (\sqrt{x - 6})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 6}$ 重写成 ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \arctan ({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(x - 6)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

将 ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + {(x - 6)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{1}{1 + x - 6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1}{x - 5} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

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解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 6$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.5.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.10

合并分数。

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解题步骤 4.10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

解题步骤 4.10.4

将 $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x - 5}$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 4.11

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 4.13

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} (1 + 0)$

解题步骤 4.14

化简表达式。

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解题步骤 4.14.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} \cdot 1$

解题步骤 4.14.2

将 $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)}$

微积分学 示例

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